如何解决使用scipy.linalg.inv时遇到的"矩阵奇异"错误？

1. 问题现象描述

在使用scipy.linalg.inv计算矩阵逆时，经常会遇到"LinAlgError: Singular matrix"错误。这种情况通常发生在以下场景：

• 矩阵行列式接近或等于零
• 矩阵条件数过大（ill-conditioned矩阵）
• 存在线性相关的行或列
• 浮点运算精度不足

2. 根本原因分析

奇异矩阵（Singular Matrix）是指行列式为零的方阵，这类矩阵在数学上不存在逆矩阵。在实际计算中，即使矩阵理论上是可逆的，也可能因为：

1. 数值精度问题：浮点运算的有限精度导致计算结果偏差
2. 病态条件：矩阵条件数cond(A)过大时，微小扰动会导致结果剧烈变化
3. 秩缺失：矩阵实际秩小于其维度，表明存在线性相关性

3. 解决方案

3.1 使用伪逆代替

import scipy.linalg as la
pinv_A = la.pinv(A)  # 使用Moore-Penrose伪逆

3.2 添加正则化项

对于接近奇异的矩阵，可以添加小的单位矩阵扰动：

epsilon = 1e-8
A_reg = A + epsilon * np.eye(A.shape[0])

3.3 使用SVD分解

U, s, Vh = la.svd(A)
inv_A = Vh.T @ np.diag(1/s) @ U.T

4. 预防措施

方法	适用场景	优点
计算条件数	预先检查矩阵性质	cond(A)可预测数值稳定性
使用QR分解	最小二乘问题	数值稳定性更好
提升计算精度	高精度需求场景	使用np.float128数据类型

5. 实际案例

考虑一个典型的希尔伯特矩阵案例，这类矩阵随着维度增加会迅速变得病态：

from scipy.linalg import hilbert
A = hilbert(10)  # 10x10希尔伯特矩阵
try:
    inv_A = la.inv(A)
except la.LinAlgError as e:
    print(f"错误：{e}")

此时应采用正则化技术或改用最小二乘解法。

6. 性能考量

不同方法的计算复杂度比较：

• 直接求逆：O(n³)
• SVD分解：O(n³)但更稳定
• Cholesky分解：O(n³/3)（仅适用于对称正定矩阵）