1. 问题现象与错误分析
在使用scipy.linalg.lu_factor进行LU分解时，最常见的错误之一是ValueError: expected square matrix。这个错误直接指出了问题的核心：输入矩阵必须是方阵（即行数和列数相等的矩阵）。当用户尝试对非方阵（如3×5矩阵）进行分解时，就会触发这个异常。
import numpy as np
from scipy.linalg import lu_factor
# 错误示例：非方阵
A = np.random.rand(3, 5)
lu, piv = lu_factor(A) # 抛出ValueError2. 数学原理深入解析
LU分解的基本数学要求源自其算法特性：
- 分解过程需要主对角线元素作为枢轴(pivot)
- 行变换操作要求矩阵具有对称维度
- 最终得到的下三角矩阵(L)和上三角矩阵(U)需要能组合成原矩阵
数学表达式为：
\[ PA = LU \]其中P是置换矩阵，L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。这种结构天然要求A必须是n×n矩阵。
3. 解决方案与代码实践
针对不同场景，我们提供三种解决方案：
方案1：转换为方阵
对于超定方程组（over-determined systems）的最小二乘问题，建议先进行正规方程转换：
# 最小二乘问题的处理
A = np.random.rand(5, 3) # 5×3矩阵
ATA = A.T @ A # 转换为3×3方阵
lu, piv = lu_factor(ATA)方案2：使用QR分解替代
对于非方阵的数值稳定解法，QR分解是更好的选择：
from scipy.linalg import qr
Q, R = qr(A) # 适用于任意m×n矩阵方案3：矩阵截断处理
在特定应用场景下，可以提取最大方阵子块：
n = min(A.shape)
A_square = A[:n, :n]4. 性能优化与注意事项
当处理大型矩阵时，需考虑以下计算效率因素：
- 内存布局（C-contiguous vs Fortran-contiguous）
- 使用
overwrite_a=True参数减少内存分配 - 检查矩阵的条件数避免数值不稳定
5. 实际应用案例
在有限元分析中，我们演示如何正确应用LU分解：
# 刚度矩阵分解示例
stiffness_matrix = load_fem_matrix() # 假设返回n×n矩阵
lu, piv = lu_factor(stiffness_matrix)
# 后续用于快速求解线性系统通过本文的解决方案，开发者可以有效地规避维度不匹配错误，并选择最适合其应用场景的矩阵分解方法。