如何解决scipy.linalg.eigh方法中矩阵非对称导致的错误？

问题现象与错误分析

当使用scipy.linalg.eigh计算特征值时，常见的错误提示是：

LinAlgError: Matrix is not Hermitian

该错误表明输入矩阵不满足Hermitian性质（实对称矩阵的复数推广）。eigh是专门为Hermitian/实对称矩阵设计的算法，其底层使用LAPACK的syev/heev例程，比通用特征值求解器eig快约50%。

根本原因诊断

1. 浮点误差累积：理论上对称的矩阵因浮点运算可能失去严格对称性
2. 数据加载问题：从文件加载时可能破坏矩阵结构
3. 算法副作用：某些数值计算步骤会引入非对称分量

解决方案与代码示例

方法1：强制对称化处理

import numpy as np
from scipy.linalg import eigh

# 原始非对称矩阵
A = np.random.rand(100,100)  

# 对称化处理
A_sym = (A + A.T) / 2  
vals, vecs = eigh(A_sym)

方法2：精度阈值验证

def is_hermitian(matrix, tol=1e-8):
    return np.allclose(matrix, matrix.conj().T, atol=tol)

if is_hermitian(A):
    eigh(A)
else:
    # 降级使用eig或进行对称校正

性能优化技巧

数值稳定性建议

• 使用np.linalg.norm(A-A.T, np.inf)检查最大非对称偏差
• 对于病态矩阵，考虑Schur分解替代方案
• 大型稀疏矩阵可使用scipy.sparse.linalg.eigsh

应用场景对比

在量子力学计算中，Hamiltonian矩阵理论上必须是Hermitian的，但数值模拟可能产生微小偏差。此时应采用对称投影法而非简单强制对称化，以保持物理意义。